证法一:
证明: 有一公式
\(a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1)\)
此公式是由等比数列前n项和公式得出的, 即
首项为\(a_1=1\), 公比为\(q=a\)的数列的前n项相加
\(S_n=1+a+a^2+\dots+a^{n-1}=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\cfrac{a^n-1}{a-1}\)
将右边分母\(a-1\)乘到左边,所以\(a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1)\)
以此公式推导
\(\frac{(1+x)^{\frac 1n}-1}{\frac xn}=\frac{n(1+x)^{\frac 1n}-1)}{x}\quad(*)\)
将分子、分母同乘以
\((1+x)^{\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\frac{n-2}{n}}+\dots+(1+x)^{\frac{1}{n}}+1\quad(**)\)
(*)式分子\(=n[(1+x)-1]=nx\)
又\(\because x→0,\\therefore(**)→n\)
所以(*)式分母\(→nx\)
所以\(\frac{(1+x)^{\frac1n}-1}{\frac{x}n}=\frac{n[(1+x)^{\frac1n}-1]}{x}\to \frac{nx}{nx}=1\)
所以\({(1+x)^{\frac1n}-1}\sim \frac xn\)
证法二:
证明: 令\((1+x)^{\frac1n}-1=t,\)
则\(x\to0\)时\(t\to0,x=(1+t)^n-1\)
\(\quad\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac xn}{(1+x)^\frac1n-1}\\=\lim\limits_{x\to0}\frac{(1+t)^n-1}{nt})\\=\lim\limits_{x\to0}\frac{C_n^1+C_n^2{t}+C_n^3{t^2}+\dots+C_n^n{t^{n-1}}}n\\=\frac nn\\=1\)
这里\(C_n^m\)表示组合数,\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)